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21. Il teorema, che Jacobi disse fondamentale, equivale alla prima parte del pre- 
cedente, cioè a quella che si riferisce alle equazioni (f), ma pel solo caso, in cui le 
equazioni date fra le 4n variabili siano semplicemente 
d dO 
Pa ? 9 —_P,.—=—-. 
dI 
Noi inoltre dimostreremo in seguito, che le (f) hanno per integrali le (s). 
22. Sia 7, una variabile contenuta nelle funzioni o e v, oltre le q e le Q, 
ed all’equazioni (s) e (1) del n. 20 sì aggiunga 
(9 pr 
dt i dt 
Da queste e dalle (s) ricavando: 
le p, q ed H in funzione delle P, Q, , 
le P,Q ed H in funzione delle p, q, t, 
sì verificheranno sempre (f), (f) ed (f)"; e dippiù si avrà 
ds dH, dIs dH, 
—__ e —_— TI 0 9 d- —____ 9 
Ps dis dI dPs 
dio BCE 0 2A _ De 0 
IT DO UR e) PE 
Ricavando invece dalle (s) ed (s): 
le p,qe t în funzione delle P_,Q, H. 
le P, Q e © in funzione delle p, q, H 
si verificheranno sempre le equazioni (f) (f) (f)"; e dippiù si avrà 
DT 
dPr Pa T 
l Pi Doe G d 
3 
aan 
db, DERE, da. _ IT 0 
?dH DONI DES 
Queste relazioni si ricavano osservando che dalle equazioni (s) ed (sy si ha 
x (dp. dg, — dq dp:) — X (dP,dQ, — dQ, dP,) + X (dH, dr, — di dH)=0, 
s r t 
e considerando le identità che ne derivano, quando le variabili di un sistema si svi- 
luppano secondo le variabili di un altro sistema. 
Molte altre relazioni analoghe alle precedenti si potrebbero d’altronde ricavare 
colla stessa facilità, cambiando diversamente le variabili nei due sistemi. 
23. Siano fra le 4n variabili 
Pi Pa --- Pas 1 DM -.- I 
Pi Py o 00 Pa: Qi Qi ODO Qu 
2n equazioni tali, che esprimendo per esse le variabili della prima linea in fun- 
zione di quelle della seconda, e viceversa, si abbid: 
ds pe dI, TIRe, dPs e NES DIA 
(1) DO} ds 120 ds i 
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CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MeMoRIE — Von, XII DO 
