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Nell’ ipotesi che nelle precedenti equazioni differenziali sia m=-0, se ne ricava 
= AV 1999 U=C+Dlogw, 
donde la soluzione 
(A + Bx) (C+ D log w). 
Ma questa soluzione non si può conciliare colle condizioni richieste, a meno che 
non si riduca a 0. Difatti, bisogna supporre D-—0, affinchè essa non diventi co per 
u=0:e C=0, affinchè, moltiplicandola per v, non diventi co col crescere di w. 
Osserviamo che, se si suppone m==0 nelle soluzioni precedentemente trovate, esse 
si annullano col seno iperbolico. 
Queste soluzioni soddisfanno già a due delle proprietà richieste rispettivamente 
per W', W". Perricavare da esse una soluzione, che soddisfaccia anche alla rimanente, 
osserviamo che, valendo quelle espressioni, con tutte le loro proprietà, qualunque 
sia m, purchè reale, ed essendo l’equazione (2) lineare, le espressioni integrali 
{£m) senh (A+x)m Jo (um) dm Je (m) senh (A-2)m Jo (um)dm, 
0 
Ca 
0 
dove 9 (m) o" (m) non presentino singolarità, che impediscano la convergenza dell’in- 
tegrale, soddisferanno ancora la (2), e godranno delle stesse proprietà. 
Ciò premesso, rammentiamo un teorema di Lipschitz (Giornale di Crelle t. 55, 
p. 72) pel quale supposto d reale ed @ positivo, si ha 
0 
—am Il 
i vb) = ui (d) 
Va? 
0 
Segue da questa formola che, se nei precedenti integrali poniamo 
—(A—-3)m —-(A+3)m 
, Ea e ol ( fe. COVE 
ACE ND 
senh2Am 
per a = A e a==— A rispettivamente, essi si ridurranno a 
—(A4—3)m 1 —.(A+-3)m 1 
e JoUmdm=== e heubda= 
Van Viani 
0 0 
conformemente all’ultima proprietà delle W'", W", che restava da soddisfare. 
Rimane da dimostrare che l’integrale 
00 
I | sen (Aa) 
Sn senh 2Am 
- Jo (um) dm 
0 
Ma 
è convergente. 
Però osserviamo che, essendo l’unità il massimo modulo che, nel caso nostro, 
acquista il prodotto 
senh (A42x)m 
aa o 
